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容斥原理与动态规划之应用——石子问题的数学建模

在某些数学问题中，我们常常需要从反面思考，例如确定边界上都没有石子的情况。这类问题可以通过容斥原理结合动态规划来解决。

以下是实现该方法的代码：

#include 
   
    #include 
    
     #include 
     
      using namespace std;typedef long long LL;const LL MOD = 1000007;const int N = 25;const int M = N * N;LL C[M][M];void PRE() {    C[0][0] = 1;    for (int i = 1; i < M; i++) {        C[i][0] = 1;        for (int j = 1; j <= i; j++) {            C[i][j] = (C[i-1][j-1] + C[i-1][j]) % MOD;        }    }}int main() {    PRE();    int n, m, k, T, cas = 1;    cin >> T;    for (int cas = 1; cas <= T; cas++) {        cin >> n >> m >> k;        LL ans = 0;        for (int i = 0; i < 16; i++) {            int r = n, c = m, odd = false;            if (i & 1) r--, odd = !odd;            if (i & 2) r--, odd = !odd;            if (i & 4) c--, odd = !odd;            if (i & 8) c--, odd = !odd;            if (r < 0 || c < 0)                ;            else if (odd)                ans -= C[r * c][k];            else                ans += C[r * c][k];            while (ans < 0) ans += MOD;            while (ans >= MOD) ans -= MOD;        }        printf("Case %d: ", cas);        cout << ans << endl;    }    return 0;}
     
    
   

该代码首先预处理组合数表C，然后通过动态规划来计算所需的结果。代码的关键部分在于对每个测试用例的处理，通过容斥原理计算最终答案，并对结果进行模运算处理。

代码中的主要逻辑是对每一位二进制掩码进行处理，根据掩码决定当前的r和c值，并根据掩码的奇偶性决定是加还是减对应的组合数。最终结果通过模运算确保在合理范围内。

通过这种方法，我们可以高效地解决类似的问题。

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